Question

19．定義max$\left\{{a，b}\right\}=\left\{\begin{array}{l}a（a≥b）\\ b（a＜b）\end{array}$，已知實數(shù)x，y滿足x²+y²≤1，設z=max{x+y，2x-y}，則z的取值范圍是[$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 直線為 AB 將約束條件x²+y²≤1，所確定的平面區(qū)域分為兩部分，如圖，令z₁=x+y，點（x，y）在在半圓ACB上及其內部；令z₂=2x-y，點（x，y）在四邊在半圓ADB上及其內部（除AB邊）求得，將這兩個范圍取并集，即為所求．

解答 解：（x+y）-（2x-y）=-x+2y，設方程-x+2y=0對應的直線為AB，∴Z=$\left\{\begin{array}{l}{x+y，（-x+2y≥0）}\\{2x-y，（-x+2y＜0）}\end{array}\right.$，
直線為 AB 將約束條件x²+y²≤1，所確定的平面區(qū)域分為兩部分，令z₁=x+y，點（x，y）在半圓ACB上及其內部，
如圖求得-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$≤z₁≤$\sqrt{2}$；

令z₂=2x-y，點（x，y）在半圓ADB上及其內部（除AB邊），求得-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$≤z₂≤$\sqrt{5}$．
如圖

綜上可知，z的取值范圍為[-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$]；
故答案為：[-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$]

點評 本題考查不等關系與不等式，簡單的線性規(guī)劃問題的解法，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想．畫出圖形，是解題的關鍵．