Question

如圖，四棱椎P-ABCD的底面為直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，BA=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD．
（1）證明：CD⊥CP；
（2）若E是線段PA的中點，證明BE∥平面PCD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲證CD⊥CP，只需證明CD⊥平面PAC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證CD與平面PAC內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知PA⊥底面ABCD，則PA⊥CD，利用勾股定理可知AC⊥CD，PA∩AC=A，滿足定理條件；
（2）欲證BE∥平面PCD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證BE與平面PCD內(nèi)一直線平行，設側(cè)棱PD的中點為F，連接BE，EF，F(xiàn)C，易證四邊形BEFC為平行四邊形，則BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD，滿足定理所需條件．

解答： 證明：（1）因為∠ABC=90°，BA=BC=1，
所以AC=

2

．
過點C作CM⊥AD，垂足為M，則CD=

CM2+MD2

=

2

，
所以AC²+CD²=AD²，
所以CD⊥AC．
因為PA⊥CD，PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC，
所以CD⊥CP；
（2）設側(cè)棱PD的中點為F，連接BE，EF，F(xiàn)C
則EF∥AD，且EF=

1

2

AD．
由已知∠ABC=∠BAD=90°，
所以BC∥AD．
又BC═

1

2

AD，
所以BC∥EF．且BC=EF．
所以四邊形BEFC為平行四邊形，所以BE∥CF．
因為BE?平面PCD，CF?平面PCD，
所以BE∥平面PCD．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定、以及線面平行的判定，同時考查了空間想象能力，推理論證能力，屬于中檔題．