Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=-

a

x

．若至少存在一個(gè)x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將a=2代入，對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到切線的斜率k=f′（1），切點(diǎn)為（1，f（1）），根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫出切線方程；
（Ⅱ）由題意知先求函數(shù)f（x）的定義域，再由（1）得出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)h（x）=ax²-2x+a．下面對(duì)a進(jìn)行分類討論：①當(dāng)若0＜a＜1時(shí)，②當(dāng)a≥1時(shí)，由此可知f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅲ）存在一個(gè)x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），則ax₀＞2lnx₀，等價(jià)于a＞

2lnx0

x0

，令F（x）=

2lnx

x

，等價(jià)于“當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，a＞F（x）_min”．利用導(dǎo)數(shù)易求其最小值

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=2（x-

1

x

）-2lnx，
f（1）=0，f′（x）=2（1+

1

x2

）-

2

x

．
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=2．  
從而曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0．       
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）． 
∵f′（x）=

ax2-2ax+a

x2

，
不妨設(shè)h（x）=ax²-2x+a，
當(dāng)a＞0時(shí)，△=4-4a²，
①若0＜a＜1，
由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得
0＜x＜

1- 1-a2

a

或x＞

1- 1-a2

a

；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1- 1-a2

a

）和（

1- 1-a2

a

，+∞）；
②若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
則f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
（Ⅲ）因?yàn)榇嬖谝粋�(gè)x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），
則ax₀＞2lnx₀，等價(jià)于a＞

2lnx0

x0

．
令F（x）=

2lnx

x

，等價(jià)于“當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，a＞F（x）_min”．
對(duì)F（x）求導(dǎo)，得F′（x）=

2(1-lnx)

x2

．
因?yàn)楫?dāng)x∈[1，e]時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增．
所以F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．時(shí)f（x） 在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，對(duì)于“能成立”問題及“恒成立”問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．