Question

若函數(shù)f(x)=sin3xcosx+cos3xsinx+

3

sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知△ABC的三邊a、b、c對應(yīng)角為A、B、C，且三角形的面積為S，若

3

2

AB

•

BC

=S，求f(A)的取值范圍．

Answer 1

考點：解三角形,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題

分析：{1}利用平方關(guān)系式以及二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（2）利用三角形的面積與已知的表達(dá)式，求出B的值，推出A的范圍，然后求出f（A）的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f(x)=sin3xcosx+cos3xsinx+

3

sin2x
=sin xcosx+

3

sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

-

3 cos2x

2

=sin（2x-

π

3

）+

3

2

．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得：x∈[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z．
即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z．
（2）△ABC的三邊a、b、c對應(yīng)角為A、B、C，且三角形的面積為S，

3

2

AB

•

BC

=S，
所以

3

2

|AB

|•|

BC

|cos(π-B)=

1

2

|AB

|•|

BC

|sinB，
tanB=-

3

，B=

2π

3

．
0＜A＜

π

3

，
f（A）=sin（2A-

π

3

）+

3

2

，所以2A-

π

3

∈(-

π

3

，

π

3

)，
sin（2A-

π

3

）∈(-

3

2

，

3

2

)，sin（2A-

π

3

）+

π

3

∈(-

3

，

3

)，
所以f（A）的范圍：(-

3

，

3

)．

點評：本題考查二倍角公式與兩角差的正弦函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，向量的數(shù)量積與三角形的面積公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的值域的求法，考查計算能力．