Question

5．五一節(jié)期間，某商場為吸引顧客消費(fèi)推出一項優(yōu)惠活動．活動規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券．（假定指針等可能地停在任一位置，指針落在區(qū)域的邊界時，重新轉(zhuǎn)一次）指針?biāo)�在的區(qū)域及對應(yīng)的返劵金額見右上表．例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．
（1）已知顧客甲消費(fèi)后獲得n次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會，已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的概率為p，每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)ξ為顧客甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的次數(shù)，ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=$\frac{1}{25}$，標(biāo)準(zhǔn)差σξ=$\frac{3\sqrt{11}}{50}$，求n、p的值；
（2）顧客乙消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動，他獲得返券的金額記為η（元）．求隨機(jī)變量η的分布列和數(shù)學(xué)期望．

指針位置	A區(qū)域	B區(qū)域	C區(qū)域
返券金額（單位：元）	60	30	0

Answer 1

分析 （1）依題意知，ξ服從二項分布ξ～B（n，p），再由二項分布的期望公式與二項分布的方差公式可得方程組，進(jìn)而求出p與n的值．
（2）設(shè)指針落在A，B，C區(qū)域分別記為事件A，B，C，再計算出P（A）=$\frac{1}{6}$，P（B）=$\frac{1}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$，以及隨機(jī)變量η的可能值為0，30，60，90，120，然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分布得到其發(fā)生的概率，假若求出離散型隨機(jī)變量的分布列與期望．

解答 解：（1）依題意知，ξ服從二項分布ξ～B（n，p）
∴Eξ=np=$\frac{1}{25}$----------------①
又Dξ=（σξ）²=np（1-p）=$\frac{99}{2500}$----②
由①②聯(lián)立解得：n=4，p=$\frac{1}{100}$；
（2）設(shè)指針落在A，B，C區(qū)域分別記為事件A，B，C．則P（A）=$\frac{1}{6}$，P（B）=$\frac{1}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$．
由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次．
隨機(jī)變量η的可能值為0，30，60，90，120．
P（η=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$
P（η=30）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×2$=$\frac{1}{3}$   
P（η=90）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}×2$=$\frac{1}{9}$
P（η=60）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}×2$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{5}{18}$
P（η=120）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{36}$．
所以，隨機(jī)變量η的分布列為：

P	0	30	60	90	120
η	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$

故其數(shù)學(xué)期望Eη=0×$\frac{1}{4}$+30×$\frac{1}{3}$+60×$\frac{5}{18}$+90×$\frac{1}{9}$+120×$\frac{1}{36}$=40．

點(diǎn)評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握二項分布的期望與方差公式與離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差，以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，此題屬于中檔題，是高考經(jīng)常涉及的考點(diǎn)之一．