20．已知函數(shù)f（x）=loga（x-2）（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域及其圖象所過的定點坐標(biāo)；
（2）若x∈[4，6]時，函數(shù)f（x）的最大值為2，求實數(shù)a的值．

分析 （1）對數(shù)要求真數(shù)大于0，從而便可得出該函數(shù)定義域為（2，+∞），并且容易看出f（3）=0，這樣所過的定點也找到了；
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論a：a＞1，和0＜a＜1，根據(jù)每種情況下f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的最大值，這樣即可建立關(guān)于a的方程，解方程得出a的值，并判斷是否滿足a假設(shè)的范圍．

解答 解：（1）要使函數(shù)f（x）有意義，則x-2＞0；
∴x＞2；
∴該函數(shù)的定義域為（2，+∞）；
f（3）=0；
∴f（x）的圖象過定點（3，0）；
（2）①若a＞1，則f（x）在[4，6]上為增函數(shù)；
∴最大值為f（6）=loga4=2；
∴a2=4；
∴a=2；
②若0＜a＜1，則f（x）為減函數(shù)；
∴f（x）在[4，6]上的最大值為f（4）=loga2=2；
∴a2=2；
∴$a=\sqrt{2}$＞1；
∴這種情況不存在；
∴實數(shù)a的值為2．

點評 考查函數(shù)定義域的概念，對數(shù)函數(shù)的定義域的求法，函數(shù)圖象所過定點的求法，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性定義求函數(shù)的最大值．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知函數(shù)f（x）=alnx-x2．
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)y=f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值；
（2）當(dāng)a=2時，函數(shù)h（x）=f（x）-mx的圖象與x軸交于兩點A（x1，0）、B（x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的導(dǎo)函數(shù)，若正常數(shù)α、β滿足條件α+β=1，β≥α．試問：h′（αx1+βx2）＜0是否恒成立，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．若y=$\frac{3}{4}$x2-3x+4在區(qū)間[a，b]上的值域仍是[a，b]（其中0＜a＜b），求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．求函數(shù)f（x）=5-x+$\sqrt{3x-1}$的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．如圖，已知點A是直線y=2x+1與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象的交點，且點A的橫坐標(biāo)為1．
（1）求k的值；
（2）如圖1，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一點M，若S△AOM=4，求點M的坐標(biāo)；
（3）如圖2所示，若已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上一點B（3，1），點P是直線y=x上一動點，點Q是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上另一點，是否存在以P、A、B、Q為頂點的平行四邊形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．五一節(jié)期間，某商場為吸引顧客消費(fèi)推出一項優(yōu)惠活動．活動規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券．（假定指針等可能地停在任一位置，指針落在區(qū)域的邊界時，重新轉(zhuǎn)一次）指針?biāo)诘膮^(qū)域及對應(yīng)的返劵金額見右上表．例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．
（1）已知顧客甲消費(fèi)后獲得n次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會，已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的概率為p，每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)ξ為顧客甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的次數(shù)，ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=$\frac{1}{25}$，標(biāo)準(zhǔn)差σξ=$\frac{3\sqrt{11}}{50}$，求n、p的值；
（2）顧客乙消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動，他獲得返券的金額記為η（元）．求隨機(jī)變量η的分布列和數(shù)學(xué)期望．
指針位置A區(qū)域B區(qū)域C區(qū)域
返券金額（單位：元）60300

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

12．若函數(shù)變?yōu)閒（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx-a，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-a，x≤0}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=f（x）有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{1}{e}$，1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．“a=-1”是方程“a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圓”的（　�。�
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分有不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$在[1，b]（b＞1）上的最小值是$\frac{1}{4}$，則b=4．

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