【題目】若數(shù)列滿足:對于任意均為數(shù)列中的項(xiàng),則稱數(shù)列為“ 數(shù)列”.
(1)若數(shù)列的前項(xiàng)和,求證:數(shù)列為“ 數(shù)列”;
(2)若公差為的等差數(shù)列為“ 數(shù)列”,求的取值范圍;
(3)若數(shù)列為“ 數(shù)列”,,且對于任意,均有,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】分析:(1)先利用項(xiàng)和公式計(jì)算出an=4n-2,再利用“ 數(shù)列”證明.(2)利用“ 數(shù)列”的性質(zhì)求的取值范圍.(3)先證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列,再轉(zhuǎn)化an<a-a<an+1,再轉(zhuǎn)化為n(2t2-t)>t2-3t+1,n(t-2t2)>2t-t2-1,分析得到公差t=,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
詳解:(1)當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,
又a1=S1=2=4×1-2,所以an=4n-2.
所以an+|an+1-an+2|=4n-2+4=4(n+1)-2為數(shù)列{an}的第n+1項(xiàng),
因此數(shù)列{an}為“T 數(shù)列”.
(2)因?yàn)閿?shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,
所以an+|an+1-an+2|=a1+(n-1) d+|d|.
因?yàn)閿?shù)列{an}為“T 數(shù)列”,
所以任意n∈N*,存在m∈N*,使得a1+(n-1) d+|d|=am,即有(m-n) d=|d|.
①若d≥0,則存在m=n+1∈N*,使得(m-n) d=|d|,
②若d<0,則m=n-1.
此時,當(dāng)n=1時,m=0不為正整數(shù),所以d<0不符合題意. 綜上,d≥0.
(3)因?yàn)?/span>an<an+1,所以an+|an+1-an+2|=an+an+2-an+1.
又因?yàn)?/span>an<an+an+2-an+1=an+2-(an+1-an)<an+2,且數(shù)列{an}為“T數(shù)列”,
所以an+an+2-an+1=an+1,即an+an+2=2an+1,
所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為t(t>0),則有an=1+(n-1)t,
由an<a-a<an+1,得1+(n-1)t<t[2+(2n-1)t]<1+nt,
整理得n(2t2-t)>t2-3t+1, ①
n(t-2t2)>2t-t2-1. ②
若2t2-t<0,取正整數(shù)N0>,
則當(dāng)n>N0時,n(2t2-t)<(2t2-t) N0<t2-3t+1,與①式對于任意n∈N*恒成立相矛盾,
因此2t2-t≥0.
同樣根據(jù)②式可得t-2t2≥0,
所以2t2-t=0.又t>0,所以t=.
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)t=時,①②兩式對于任意n∈N*恒成立,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+ (n-1)=.
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【題目】[2018·郴州期末]已知三棱錐中,垂直平分,垂足為,是面積為的等邊三角形,,,平面,垂足為,為線段的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求與平面所成的角的正弦值.
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【題目】已知動點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2,設(shè)動點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
求曲線C的方程;
若直線與曲線C和圓從左至右的交點(diǎn)依次為A,B,C,D求的值.
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【題目】下列命題中正確的個數(shù)是( )
①命題“任意”的否定是“任意;
②命題“若,則”的逆否命題是真命題;
③若命題為真,命題為真,則命題且為真;
④命題“若,則”的否命題是“若,則”.
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
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【題目】質(zhì)檢部門對某工廠甲、乙兩個車間生產(chǎn)的12個零件質(zhì)量進(jìn)行檢測.甲、乙兩個車間的零件質(zhì)量(單位:克)分布的莖葉圖如圖所示.零件質(zhì)量不超過20克的為合格.
(1)從甲、乙兩車間分別隨機(jī)抽取2個零件,求甲車間至少一個零件合格且乙車間至少一個零件合格的概率;
(2)質(zhì)檢部門從甲車間8個零件中隨機(jī)抽取4件進(jìn)行檢測,若至少2件合格,檢測即可通過,若至少3 件合格,檢測即為良好,求甲車間在這次檢測通過的條件下,獲得檢測良好的概率;
(3)若從甲、乙兩車間12個零件中隨機(jī)抽取2個零件,用表示乙車間的零件個數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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【題目】某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲存溫度x(單位:)滿足函數(shù)關(guān)系 (k,m為常數(shù)).若該食品在0的保鮮時間是64小時,在18的保鮮時間是16小時,則該食品在36的保鮮時間是( )
A.4小時B.8小時C.16小時D.32小時
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【題目】探究函數(shù),上的最小值,并確定取得最小值時的值,列表如下:
… | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … | |
… | 14 | 7 | 5.34 | 5.11 | 5.01 | 5 | 5.01 | 5.04 | 5.08 | 5.67 | 7 | 8.6 | 12.14 | … |
(1)觀察表中值隨值變化趨勢特點(diǎn),請你直接寫出函數(shù),的單調(diào)區(qū)間,并指出當(dāng)取何值時函數(shù)的最小值為多少;
(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性.
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【題目】[2018·江西聯(lián)考]交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動車購買的險(xiǎn)種,若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時,實(shí)行的是費(fèi)率浮動機(jī)制,保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就越高,具體浮動情況如表:
交強(qiáng)險(xiǎn)浮動因素和浮動費(fèi)率比率表 | ||
浮動因素 | 浮動比率 | |
上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了80輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格:
類型 | ||||||
數(shù)量 | 20 | 10 | 10 | 20 | 15 | 5 |
以這80輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題:
(1)按照我國《機(jī)動車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價格的規(guī)定,.某同學(xué)家里有一輛該品牌車且車齡剛滿三年,記X為該品牌車在第四年續(xù)保時的費(fèi)用,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值;(數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字)
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車.假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損4000元,一輛非事故車盈利8000元:
①若該銷售商購進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤的期望值.
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