Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x|x+a|﹣ lnx．
（1）當(dāng)a=0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a＜0，討論函數(shù)f（x）的極值點．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=0時，f（x）=x2﹣ lnx，函數(shù)的定義域為（0，+∞）．

f′（x）= ，

令f′（x）＞0，可得x＞ ，f′（x）＞0，可得0＜x＜ ，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（ ，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0， ）

（2）解：當(dāng)a＜0時，f（x）= ．

①x＞﹣a時，f′（x）= =0，可得x1= ，x2= ＜﹣a（舍去）．

若 ≤﹣a，即a≤﹣ ，f′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）在（﹣a，+∞）上單調(diào)遞增；

若 ＞﹣a，即﹣ ＜a＜0，則當(dāng)x∈（﹣a，x1）時，f′（x）＜0，x∈（x1，+∞），f′（x）＞0，

∴f（x）在∈（﹣a，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，+∞）上單調(diào)遞增．

②當(dāng)0＜x＜﹣a時，f′（x）= =0，得﹣4x2﹣2ax﹣1=0．

記△=4a2﹣16．

△≤0，即﹣2≤a＜0，f′（x）≤0，∴f（x）在（0，﹣a）上單調(diào)遞減；

△＞0，即a＜﹣2，f′（x）=0可得x3= ，x4= 且0＜x3＜x4＜﹣a．

x∈（0，x3）時，f′（x）＜0，x∈（x3，x4）時，f′（x）＞0，x∈（x4，﹣a），f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，x3）上單調(diào)遞減，在（x3，x4）上單調(diào)遞增，在（x4，﹣a）上單調(diào)遞減，

綜上所述，a＜﹣2時，f（x）的極小值點為 ，極大值點為 ；﹣2≤a≤﹣ 時，f（x）無極值點；

﹣ ＜a＜0時，f（x）的極小值點為

【解析】（1）當(dāng)a=0時，f（x）=x2﹣ lnx，函數(shù)的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)數(shù)，斷導(dǎo)數(shù)的符號，即可判斷f（x）的單調(diào)性；（2）分類討論，利用極值的定義，即可討論函數(shù)f（x）的極值點．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．