Question

是否存在常數(shù)k∈R，使得函數(shù)f（x）=x⁴+（2-k）x²+（2-k）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，得到x=-1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，即f'（-1）=0，然后利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：要使函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，
則x=-1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，即f'（-1）=0，
∵f（x）=x⁴+（2-k）x²+（2-k），
∴f'（x）=4x³+2（2-k）x，
由f'（-1）=-4-2（2-k）=0，
解得k=4，
此時(shí)f'（x）=4x³-4x=4x（x²-1），
由f'（x）=4x（x²-1）＞0得x＞1或-1＜x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f'（x）=4x（x²-1＜0得x＜-1或0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，滿足條件．
故存在k=4，滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系的應(yīng)用，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的公式以及函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．