Question

【題目】設，。

（Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；

（Ⅱ）如果對于任意的都有f(s)≥g(t)成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）M＝4；（Ⅱ）[1，＋∞).

【解析】分析：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等價于g（x）max﹣g（x）min≥M；

（II）對于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價于f（x）≥g（x）max，進一步利用分離參數(shù)法，即可求得實數(shù)a的取值范圍；

詳解：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等價于g（x）max﹣g（x）min≥M

∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴

∴g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，2）上單調(diào)遞增

∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1

∴g（x）max﹣g（x）min=

∴滿足的最大整數(shù)M為4；

（II）對于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價于f（x）≥g（x）max．

由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1

∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等價于a≥x﹣x2lnx恒成立

記h（x）=x﹣x2lnx，則h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0

∴當時，h′（x）＞0；當1＜x＜2時，h′（x）＜0

∴函數(shù)h（x）在（，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，

∴h（x）max=h（1）=1

∴a≥1