Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2（a_n-n），n∈N^+*．
（1）證明：{a_n+2}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），T_n為數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2（a_n-n）=2a_n-2n，n∈N^+*，得S_n-1=2a_n-1-2（n-1），n≥2，從而a_n+2=2（a_n-1+2），n≥2，由此能證明{a_n+2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，并能求出{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=$lo{g}_{2}（{a}_{n}+2）=lo{g}_{2}{2}^{n+1}$=n+1，得$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2（a_n-n）=2a_n-2n，n∈N^+*，
∴S_n-1=2a_n-1-2（n-1），n≥2，
∴S_n-S_n-1=a_n=2a_n-2a_n-1-2，n≥2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），n≥2，
當(dāng)n=1時，S₁=2a₁-2=a₁，解得a₁=2，a₁+2=4，
∴{a_n+2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．
∴${a}_{n}+2=4×{2}^{n-1}={2}^{n+1}$，
∴${a}_{n}={2}^{n+1}-2$．
（2）∵b_n=$lo{g}_{2}（{a}_{n}+2）=lo{g}_{2}{2}^{n+1}$=n+1，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和：
T_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列的通項公式及前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和裂項求和法的合理運用．