Question

12．若函數(shù)f（x）=a^x+ka^-x（a＞0且a≠1）在R上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g（x）=log_a（x+k）的圖象是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=a^x+ka^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，我們可得k=-1，a＞1，由此不難判斷函數(shù)的圖象．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=a^x+ka^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是奇函數(shù)
∴f（-x）+f（x）=0
即（k+1）（a^x+a^-x）=0
則k=-1
又∵函數(shù)f（x）=a^x+ka^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)
則a＞1
則g（x）=log_a（x+k）=log_a（x-1）
函數(shù)圖象必過(guò)（2，0），且為增函數(shù)
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 若函數(shù)在其定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則f（-x）+f（x）=0，若函數(shù)在其定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，則f（-x）-f（x）=0，這是函數(shù)奇偶性定義的變形使用，另外函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，在公共單調(diào)區(qū)間上：增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)也是解決本題的關(guān)鍵．