Question

函數(shù)f（x）=的零點個數(shù)為

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   無數(shù)個

Answer 1

B
分析：根據(jù)函數(shù)的解析式，分類討論，當(dāng)x≤0時，f（x）=x+cosx，求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)f（0）=1＞0，x→-∞時，f（x）→-∞，從而求得函數(shù)零點的個數(shù)；當(dāng)x＞0時，f（x）=，求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，根據(jù)f（2）=＜0，f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→+∞，從而求得函數(shù)零點的個數(shù)．
解答：當(dāng)x≤0時，f（x）=x+cosx，
f′（x）=1-sinx≥0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且f（0）=1＞0，x→-∞時，f（x）→-∞，
∴f（x）在（-∞，0）上有一個零點；
當(dāng)x＞0時，f（x）=，
f′（x）=x²-4=0，
解得x=2或x=-2（舍），
∴當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞2時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
且f（2）=＜0，f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→+∞，
∴f（x）在（0，+∞）上有兩個零點；
綜上函數(shù)f（x）=的零點個數(shù)為3個，
故選B．
點評：此題考查了函數(shù)零點問題，函數(shù)的零點個數(shù)問題實際上就是函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而確定函數(shù)的零點個數(shù)等基礎(chǔ)題，同時考查了知識的靈活運用和運算能力．