已知數(shù)列{an}滿足an=3n-1，求證：
n
3
-
1
6
＜
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
3
．
考點(diǎn)：數(shù)列的求和
專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：由已知條件得
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
=
2
8
+
8
26
+…+
3n-1
3n+1-1
＜
3
9
+
9
27
+…+
3n
3n+1
=
n
3
；
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
=
2
8
+
8
26
+…+
3n-1
3n+1-1
＞
2
9
+
8
27
+…+
3n-1
3n+1
，由此能證明
n
3
-
1
6
＜
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
3
．
解答： 解：∵數(shù)列{an}滿足an=3n-1，
∴
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
=
2
8
+
8
26
+…+
3n-1
3n+1-1

＜
3
9
+
9
27
+…+
3n
3n+1
=
n
3
，
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
=
2
8
+
8
26
+…+
3n-1
3n+1-1

＞
2
9
+
8
27
+…+
3n-1
3n+1

=
3-1
9
+
9-1
27
+…+
3n-1
3n+1

=（
3
9
+
9
27
+…+
3n
3n+1
）-（
1
32
+
1
33
+…+
1
3n+1
）
=
n
3
-
1
9
(1-
1
3n
)
1-
1
3

=
n
3
-
1
6
(1-
1
3n
)
＞
n
3
-
1
6
．
∴
n
3
-
1
6
＜
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意放縮法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，且PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，則O是△ABC的（　　）
A、外心B、內(nèi)心C、垂心D、重心

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ax+b
x
ex，a，b∈R，且a＞0．
（1）若a=2，b=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)g（x）=a（x-1）ex-f（x）．當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）≥1成立，求b的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

為了調(diào)查某大學(xué)學(xué)生在周日上網(wǎng)的時(shí)間，隨機(jī)對(duì)100名男生和100名女生進(jìn)行了不記名的問(wèn)卷調(diào)查．得到了如下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果；
表1：男生上網(wǎng)時(shí)間與頻數(shù)分布表
上網(wǎng)時(shí)間（分鐘） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80]
人 數(shù) 5 25 30 25 15
表2：女生上網(wǎng)時(shí)間與頻數(shù)分布表
上網(wǎng)時(shí)間 （分鐘） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80]
人數(shù) 10 20 40 20 10
（1）若該大學(xué)共有女生750人，試估計(jì)其中上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘的人數(shù)；
（2）完成下面的2×2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為“大學(xué)生周日上網(wǎng)時(shí)間與性別有關(guān)”？
表3
上網(wǎng)時(shí)間少于60分鐘 上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘 合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C的圓心C在x軸的正半軸，半徑為5，圓C被直線x-y+3=0截得的弦長(zhǎng)為2
17
．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：ax-y+5=0（a∈R）．
①若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，求a的值；
②若直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，sinA+sinC=2sinB，求證：tan
A
2
tan
C
2
=
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A=
2
-1，B=
3
-
2
，C=
4
-
3

（Ⅰ）試分別比較A與B、B與C的大�。ㄖ灰獙�(xiě)出結(jié)果，不要求證明過(guò)程）；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的比較結(jié)果，請(qǐng)推測(cè)出
k
-
k-1
與
k+1
-
k
（k≥2，k∈N*）的大小，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+
1-a
x
-1（a∈R）．
（1）當(dāng)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程是y=x+ln2時(shí)，求a的值．
（2）當(dāng)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，5）時(shí)，求a的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)向量
a
=（
3
sinx，sinx），
b
=（cosx，sinx），x∈[0，
π
2
]
（1）若|
a
|=|
b
|，求x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
，求f（x）的最大值，并指出對(duì)應(yīng)x的值．

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