Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（1）當y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是y=x+ln2時，求a的值．
（2）當y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，5）時，求a的取值集合．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)，由題意得到f′（2）=1，解出a即可；
（2）由y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，5），得到

1

x

-a-

1-a

x2

＞0的解集為（1，5），轉(zhuǎn)化為方程的解為1，5，代入即可求出a．

解答： 解：（1）∵y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是y=x+ln2，
∴切線的斜率為1，即f′（2）=1，
∵f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

，∴f′（2）=

1

2

-a-

1-a

4

=1，
∴a=-1；
（2）∵y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，5），
∴f′（x）＞0的解集為（1，5），即

1

x

-a-

1-a

x2

＞0的解集為（1，5）．
即有ax²-x+1-a=0的解為1，5，故a=

1

6

，
∴a的取值集合為{

1

6

}．

點評：本題主要考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，注意導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在某區(qū)間上單調(diào)的區(qū)別，是一道易錯題．