Question

在△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cos2

B

2

=

4

13

，sinA=

4

5

．
（1）求cosB的值；
（2）當(dāng)△ABC外接圓半徑為13時(shí)，求c邊的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cosB后，將已知的cos²

B

2

的值代入即可求出cosB的值；
（2）由（1）求出的cosB的值為負(fù)數(shù)，得到B為鈍角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，同時(shí)得到A為銳角，由sinA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosA的值，根據(jù)C=π-（A+B），得到cosC=-cos（A+B），利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各種的值代入求出cos（A+B）的值，進(jìn)而得到cosC的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，由sinC及外接圓半徑的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答：解：（1）∵cos2

B

2

=

4

13

，
∴cosB=2cos2

B

2

-1=-

5

13

；
（2）由（1）得到cosB=-

5

13

＜0，則B為鈍角，
∴sinB=

1-cos2B

=

12

13

，
又B為鈍角，則A為銳角，且sinA=

4

5

，
∴cosA=

1-sin2A

=

3

5

，
∴cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=

63

65

，
∴sinC=

1-cos2C

=

16

65

，
根據(jù)正弦定理

c

sinC

=2R，又R=13，
則c=2RsinC=

416

65

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，余弦定理，誘導(dǎo)公式及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．