Question

某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響．
（1）求客人游覽2個景點的概率；
（2）設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值，求ξ的分布及數(shù)學期望．

Answer 1

解：（1）分別記“客人游覽甲景點”、
“客人游覽乙景點”和“客人游覽丙景點”為A₁，A₂，A₃，
由題設條件知A₁，A₂，A₃相互獨立，
且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6，
則游覽兩個景點的概率為：
P（A₁•A₂•）+P（A₁A₃）+
=0.4×0.5×（1-0.6）+0.4×（1-0.5）×0.6+（1-0.4）×0.5×0.6
=0.08+0.12+0.18
=0.38．
（2）客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3．
相應地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為3，2，1，0，
所以ξ的可能取值為1，3．
P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（）
=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）×（1-0.5）×（1-0.6）
=0.24．
P（ξ=1）=1-0.24=0.76．
∴ξ的分布列為：

ξ	1	3
P	0.76	0.24

數(shù)學期望：Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．
分析：（1）分別記“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”和“客人游覽丙景點”為A₁，A₂，A₃，由題設條件知A₁，A₂，A₃相互獨立，且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6，則游覽兩個景點的概率為：P（A₁•A₂•）+P（A₁A₃）+，由此能夠求出結果．
（2）客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3．相應地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3．P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的期望和方差，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．