Question

2．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，它的正視圖和側(cè)視圖 （如下圖所示），則AD與平面PBC所成角的大小為$\frac{π}{2}$；三棱錐D-ABC的體積為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 由線面垂直的性質(zhì)結(jié)合PA⊥平面ABC可得PA⊥BC，再由已知AC⊥BC，結(jié)合線面垂直的判定得到BC⊥平面PAC，由此得到BC⊥AD，再由三視圖中給出的量求得AD⊥PC，即得到AD⊥平面PBC，從而求得AD與平面PBC所成角的大小為$\frac{π}{2}$；把三棱錐D-ABC的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐B-ADC的體積，結(jié)合三視圖中的量求得答案．

解答 解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AD．
由三視圖可得，在△PAC中，PA=AC=4，D為PC中點(diǎn)，
∴AD⊥PC，
∴AD⊥平面PBC，
即AD與平面PBC所成角的大小為$\frac{π}{2}$；
由三視圖可得BC=4，
又∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，
三棱錐D-ABC的體積即為三棱錐B-ADC的體積，
∴所求三棱錐的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4×4=$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$；$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．