Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₂•a₄=a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列b_n=

1

log2a2n-1•log2a2n+1

，求該數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和條件，列出關于q 的方程求出q，再代入an=a1•qn-1化簡即可；
（2）由（1）求出a_2n-1、a_2n+1的表達式，代入bn=

1

log2a2n-1•log2a2n+1

化簡后裂項，代入數(shù)列{b_n}的前n項和S_n，利用裂項相消法進行化簡．

解答： 解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₁=2，a₂•a₄=a₆得，（2q）（2q³）=2q⁵，
解得q=2，
則an=a1•qn-1=2ⁿ，
（2）由（1）得，a2n-1=22n-1，a2n+1=22n+1，
∴bn=

1

log2a2n-1•log2a2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
則S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式，對數(shù)的運算，以及裂項相消法求數(shù)列的前n項和，屬于中檔題．