Question

已知f（x）=xlnx．
（1）若不等式c＜f（x）恒成立，求c的取值范圍；
（2）令f₀（x）=f′（x），f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x）；n是正整數(shù)；
①寫出函數(shù)f₁（x）、f₂（x）、f₃（x）、f₄（x）的表達式，由此猜想f_n（x）（n∈N^*）的表達式；
②用數(shù)學歸納法證明你的結論．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,函數(shù)恒成立問題,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導函數(shù)，研究出原函數(shù)在定義域上的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）在定義域上的最小值，即可．
（2）①通過求解函數(shù)的導數(shù)，直接得到函數(shù)f₁（x）、f₂（x）、f₃（x）、f₄（x）的表達式，然后猜想f_n（x）（n∈N^*）的表達式．
②利用數(shù)學歸納法的證明步驟，證明即可．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域是（0，+∞）
由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）
當x∈（0，

1

e

）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x∈（

1

e

，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值為：f（

1

e

）=-

1

e

．
不等式c＜f（x）成立，∴c＜f（x）_min，∴c＜-

1

e

…（5分）
（2）①f₀（x）=f'（x）=1+lnx，
∴f1(x)=f′0(x)=

1

x

，f2(x)=f′1(x)=-

2

x2

，f3(x)=f′2(x)=

2•3

x3

=

3！

x3

，f4(x)=f′3(x)=

-2•3•4

x4

=-

4！

x4

，…（6分）
猜想fn(x)=(-1)n+1•

(n-1)!

xn

…（8分）
證明：（1°）n=1時，f1(x)=(1+lnx)′=x-1=

1

x

，∴猜想成立；…（9分）
（2°）設n=k時結論成立即：fk(x)=(-1)k+1•

(k-1)!

xk

；
n=k+1時有：fk+1(x)=f′k(x)=[(-1)k+1•(k-1)!x-k]′=(-1)k+1(k-1)!•(-k)x-k-1=(-1)(k+1)+1•

k!

xk+1

∴n=k+1時結論成立；（11分），
綜上由（1°）（2°）可知fn(x)=(-1)n+1•

(n-1)!

xn

對任意正整數(shù)成立．（12分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性最值的求法，數(shù)學歸納法的應用，考查邏輯推理能力以及計算能力．