Question

一盒中裝有分別標(biāo)記著1，2，3，4的4個(gè)小球，每次從袋中取出一只球，設(shè)每只小球被取出的可能性相同．
（1）若每次取出的球不放回盒中，現(xiàn)連續(xù)取三次球，求恰好第三次取出的球的標(biāo)號(hào)為最大數(shù)字的球的概率；
（2）若每次取出的球放回盒中，然后再取出一只球，現(xiàn)連續(xù)取三次球，這三次取出的球中標(biāo)號(hào)最大數(shù)字為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）四個(gè)球中取三個(gè)，由于小球編號(hào)不同，故取法共有A₄³，若第三次取出的標(biāo)號(hào)為最大數(shù)字，此數(shù)字可能是3或4，分別求出符合題意的種數(shù)即可；
（2）ξ的取值為1、2、3、4，然后根據(jù) P(ξ=k)=(

1

4

)3+

C

2 3

(

1

4

)2(

k-1

4

)+

C

1 3

(

1

4

)(

k-1

4

)2求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）當(dāng)恰好第三次取出的球的標(biāo)號(hào)為最大數(shù)字時(shí)，則第三次取出的球可能是3或4
得P=

2×1+3×2

4×3×2

= 

1

3

（2）ξ的可能取值為1，2，3，4
 P(ξ=k)=(

1

4

)3+

C

2 3

(

1

4

)2(

k-1

4

)+

C

1 3

(

1

4

)(

k-1

4

)2，
ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	1 64	7 64	19 64	37 64

故 Eξ=1×

1

64

+2×

7

64

+3×

19

64

+4×

37

64

=

55

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的性質(zhì)和應(yīng)用、離散型隨機(jī)變量及其分布列，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意離散型隨機(jī)變量概率分布列的求法，屬于中檔題．