己知兩點(diǎn)F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件||PF1|-|PF2||=2
3
．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E．
（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)G（2，2）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)N，N，使G平分線(xiàn)段MN，試證明你的結(jié)論．
（Ⅲ）若直線(xiàn)l：y=kx+
2
與雙曲線(xiàn)C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．
考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（Ⅰ）動(dòng)點(diǎn)P是以F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，且雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為2
3
，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在存在過(guò)點(diǎn)G（2，2）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)N，N，使G平分線(xiàn)段MN，利用點(diǎn)差法能求出存在過(guò)點(diǎn)G（2，2）的直線(xiàn)l，其方程為y=
1
3
x+
4
3
．
（Ⅲ）將y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得（1-3k2）x2-6
2
kx-9=0．由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出k的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）兩點(diǎn)F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件||PF1|-|PF2||=2
3
．
∴動(dòng)點(diǎn)P是以F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，
且雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為2
3
，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E為：
x2
3
-y2=1．
（Ⅱ）假設(shè)存在存在過(guò)點(diǎn)G（2，2）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)N，N，使G平分線(xiàn)段MN，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=4，y1+y2=4，
把M（x1，y1），N（x2，y2）代入
x2
3
-y2=1，得：
x12
3
-y12=1，①，
x22
3
-y12=1，②
①-②，得：
(x1+x2)(x1-x2)
3
-（y1-y2）（y1+y2）=0，
∴
4
3
(x1-x2)=4(y1-y2)，
k=
y1-y2
x1-x2
=
1
3
，
∴直線(xiàn)l為：y-2=
1
3
(x-2)，即y=
1
3
x+
4
3
，
把y=
1
3
x+
4
3
代入
x2
3
-y2=1，得2x2-8x-25=0，
△=64+200＞0，
∴存在過(guò)點(diǎn)G（2，2）的直線(xiàn)l，其方程為y=
1
3
x+
4
3
．
（Ⅲ）（2）將y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得（1-3k2）x2-6
2
kx-9=0．
由直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)得
1-3k2≠0
△=72k2+36(1-3k2)＞0
，
即k2≠
1
3
且k2＜1．①
設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），
則xA+xB=
6
2
k
1-3k2
，xAxB=
-9
1+3k2
，
由
OA
•
OB
＞22得xAxB+yAyB＞2，
而xAxB+yAy B =xAxB+（kxA+
2
）（kxB+
2
）
=（k2+1）xAxB+
2
k（xA+xB）+2
=（k2+1）•
-9
1-3k2
+
2
k•
6
2
k
1+3k2
+2=
3k2+7
3k2-2
．
于是
3k2+7
3k2-2
＞2，解得
1
3
＜k2＜3．②
由①、②得
1
3
＜k2＜1．
故k的取值范圍為（-1，-
3
3
）∪（
3
3
，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線(xiàn)方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

命題：“若x，y都是奇數(shù)，則x+y也是奇數(shù)”的逆否命題是（　　）
A、若x+y是奇數(shù)，則x與y不都是奇數(shù)
B、若x+y是奇數(shù)，則x與y都不是奇數(shù)
C、若x+y不是奇數(shù)，則x與y不都是奇數(shù)
D、若x+y不是奇數(shù)，則x與y都不是奇數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，P是△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足
BA
+
BC
=
2
3
BP
，D，E是BP的三等分點(diǎn)，則（　�。�
A、
BA
=
EC
B、
BA
+
BC
=
DP
C、
PA
+
PC
=4
BD
D、
PA
-
PC
=
BC
-
BA

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（
2
，0），且拋物線(xiàn)y=
1
4
x2的焦點(diǎn)是橢圓C1的另一個(gè)頂點(diǎn)．
（l）求橢圓C1的方程；
（2）①若直線(xiàn)l：y=kx+m同時(shí)與橢圓C1和曲線(xiàn)C2：x2+y2=
4
3
相切，求直線(xiàn)l的方程．
②若直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C1交于M，N，且直線(xiàn)OM的斜率是kOM與直線(xiàn)ON的斜率kON滿(mǎn)足kOM+kON=4k（k≠0），求證：m2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△OAB的邊OA，OB上分別取點(diǎn)M，N，使|
OM
|：|
OA
|=1：3，|
ON
|：|
OB
|=1：4，設(shè)線(xiàn)段AN與BM交于點(diǎn)P，記
OA
=
a
，
OB
=
b
，用
a
，
b
表示向量
OP
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某中學(xué)對(duì)高二甲、乙兩個(gè)同類(lèi)班級(jí)進(jìn)行加強(qiáng)語(yǔ)文閱讀理解訓(xùn)練對(duì)提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率作用的試驗(yàn)，其中甲班為實(shí)驗(yàn)班（常規(guī)教學(xué)，無(wú)額外訓(xùn)練），在試驗(yàn)前的測(cè)試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用試題測(cè)試的平均成績(jī)（均取整數(shù)）如表所示：
60分以下61-70分71-80分81-90分91-100分
甲班（人數(shù)）36111812
乙班（人數(shù)）39131510
現(xiàn)規(guī)定平均成績(jī)?cè)?0分以上（不含80分）的為優(yōu)秀．
（1）試分析估計(jì)兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀率；
（2）由以上統(tǒng)計(jì)列出2×2列聯(lián)表．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（-1，0），左右頂點(diǎn)分別為A，B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l的斜率為
1
2
，求橢圓上到l的距離為
3
5
5
的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2，求|S1-S2|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，F(xiàn)為橢圓在x軸正半軸上的焦點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，且
MF
=λ
FN
（λ＞0），定點(diǎn)A（-4，0）．
（Ⅰ）求證：當(dāng)λ=1時(shí)
MN
⊥
AF
；
（Ⅱ）若當(dāng)λ=1時(shí)有
AM
•
AN
=
106
3
，求橢圓C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的橢圓中，當(dāng)M、N兩點(diǎn)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷
AM
•
AN
×tan∠MAN是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時(shí)M、N兩點(diǎn)所在直線(xiàn)方程，若不存在，給出理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-
1
2
x2-2x-
2
3
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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