Question

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞0）的一個焦點為F（-1，0），左右頂點分別為A，B．經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C，D兩點．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l的斜率為

1

2

，求橢圓上到l的距離為

3 5

5

的點的個數(shù)；
（Ⅲ）記△ABD與△ABC的面積分別為S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由焦點F坐標可求c值，根據(jù)a，b，c的平方關(guān)系可求得a值；
（Ⅱ）寫出直線方程，可得切線方程，再利用兩條直線間的距離公式，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）當直線l不存在斜率時可得，|S₁-S₂|=0；當直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立消y可得x的方程，根據(jù)韋達定理可用k表示x₁+x₂，x₁x₂，|S₁-S₂|可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₁，x₂的式子，進而變?yōu)殛P(guān)于k的表達式，再用基本不等式即可求得其最大值

解答： 解：（Ⅰ）因為橢圓的焦點為F（-1，0），所以c=1，
又b²=3所以a²=4，
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（2分）
（Ⅱ）直線l的斜率為

1

2

，方程為x-2y+1=0，設(shè)切線y=

1

2

x+b，
與橢圓方程聯(lián)立，得4x²+4bx+4b²-12=0，
由△=0得b=±2，
∴切線方程為x-2y±4=0，
x-2y+4=0與l的距離為

|4-1|

5

=

3 5

5

，x-2y-4=0與l的距離為

|-4-1|

5

=

5

＞

3 5

5

∴橢圓上到l的距離為

3 5

5

的點的個數(shù)為3個；
（Ⅲ）當直線l無斜率時，直線為x=-1，此時C(-1，-

3

2

)，D(-1，

3

2

)
△ABD與△ABC面積相等，|S₁-S₂|=0                           …（7分）
當直線l斜率存在時，顯然k≠0，
設(shè)直線為y=k（x+1）（k≠0）聯(lián)立橢圓方程得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
顯然△＞0，且x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

…（8分）
此時|S1-S2|=

1

2

•|AB|•||y1|-|y2||=2|y1+y2|=2|k(x1+1)+k(x2+1)|=2|k(x1+x2)+2k|=

12|k|

3+4k2

…（10分）
因為k≠0，上式=

12

3 |k| +4|k|

≤

12

2 3 |k| •4|k|

=

3

當k=±

3

2

時等號成立
綜上的，|S₁-S₂|的最大值為

3

         …（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓的標準方程的求解，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，難度較大．