Question

已知函數(shù)f（x）=2αcos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（

π

3

）

1

2

+

3

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間和對稱軸方程；
（2）求函數(shù)f（x）取得最大值和最小值時對應(yīng)的x的集合．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由f（0）=2可求得a=1，再由f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

可求得b=2，從而可得y=f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間和對稱軸方程；
（2）利用f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，可求得函數(shù)f（x）取得最大值和最小值時對應(yīng)的x的集合．

解答： 解：（1）∵f（x）=a（1+cos2x）+

1

2

bsin2x，
又f（0）=2a=2，
∴a=1；
∴f（x）=1+cos2x+

1

2

bsin2x，
又f（

π

3

）=1+cos

2π

3

+

1

2

bsin

2π

3

=1-

1

2

+

3

4

b=

1

2

+

3

4

b=

1

2

+

3

2

，
∴b=2，
∴f（x）=1+cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

5π

8

]（k∈Z）；
由2x+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z）得：x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的對稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）；
（2）當2x+

π

4

=

π

2

+2kπ（k∈Z），即x=kπ+

π

8

（k∈Z）時，f（x）取得最大值

2

+1；
∴f（x）取得最大值時對應(yīng)的x的集合為{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}；
當2x+

π

4

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），
即x=kπ-

3π

8

（k∈Z）時，f（x）取得最小值-

2

+1；
∴f（x）取得最小值-

2

-1時對應(yīng)的x的集合為{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性與最值，考查方程思想與綜合運算能力，屬于中檔題．