若存在x∈[2,+∞),使不等式
1+ax
x•2x
≥1成立,則實數(shù)a的最小值為
 
考點:導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,其他不等式的解法
專題:計算題,不等式的解法及應(yīng)用
分析:依題意知,a≤2x-
1
x
,構(gòu)造函數(shù)y=2x-
1
x
,通過導(dǎo)數(shù)法可判斷y=2x-
1
x
在[2,+∞)上是增函數(shù),從而可求ymin,繼而可得實數(shù)a的最小值.
解答: 解:∵存在x∈[2,+∞),使不等式
1+ax
x•2x
≥1成立,
∴1+ax≥x•2x,即a≥2x-
1
x

令y=2x-
1
x
,
則y′=2xln2+
1
x2
>0,
∴y=2x-
1
x
,在[2,+∞)上是增函數(shù),
∴當x=2時,y取得最小值,ymin=22-
1
2
=
7
2
,
∴a≥
7
2
,即實數(shù)a的最小值為
7
2

故答案為:
7
2
點評:本題考查分式不等式的解法,著重考查構(gòu)造函數(shù)思想及恒成立問題,考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,屬于難題.
練習冊系列答案
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π
3
1
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+
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1
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1
an
)
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1
2
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