設P為△ABC內的一點，且
AP
=
2
5
AB
+
1
5
AC
．
（1）求△PBC與△ABC的面積之比；
（2）設
PA
=x
PB
+y
PC
，求實數(shù)x，y的值．
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應用
分析：（1）如圖所示，設
AM
=
2
5
AB
，
AN
=
1
5
AC
．由MP∥AC，可得
CF
CB
=
2
5
，同理可得
BE
BC
=
1
5
，可得
EF
BC
=
2
5
．得到
FP
CN
=
1
2
，即可得出
DP
DA
=
PF
AC
=
2
5
．進而得到△PBC與△ABC的面積之比；
（2）利用向量的三角形法則可得：
PB
=
PA
+
AB
，
PC
=
PA
+
AC
，可得
PA
=
x
1-x-y
AB
+
y
1-x-y
AC
，與
AP
=
2
5
AB
+
1
5
AC
比較即可得出．
解答： 解：（1）如圖所示，
設
AM
=
2
5
AB
，
AN
=
1
5
AC
．
∵MP∥AC，∴
CF
CB
=
2
5
，
同理可得
BE
BC
=
1
5
，
∴
EF
BC
=
2
5
．
∴
FP
CN
=
1
2
，
∴
DP
DA
=
PF
AC
=
2
5
．
∴△PBC與△ABC的面積之比=
2
5
；
（2）∵
PB
=
PA
+
AB
，
PC
=
PA
+
AC
，
∴
PA
=x
PB
+y
PC
=x(
PA
+
AB
)+y(
PA
+
AC
)，
∴
PA
=
x
1-x-y
AB
+
y
1-x-y
AC
，
與
AP
=
2
5
AB
+
1
5
AC
比較可得：
x
1-x-y
=-
2
5
y
1-x-y
=-
1
5
，解得
x=-1
y=-
1
2
．
點評：本題考查了向量的三角形法則、平行四邊形法則、平行線分線段成比例定理、共面向量基本定理，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知非零向量
a
，
b
，滿足|
a
|=1且（
a
-
b
）•（
a
+
b
）=
1
2
．
（1）若
a
•
b
=
1
2
，求向量
a
，
b
的夾角；
（2）在（1）的條件下，求|
a
-
b
|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為B．Q為拋物線y2=12x的焦點，且
F1B
•
QB
=0，2
F1F2
+
QF1
=0．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過定點P（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點（M在P，N之間），設直線l的斜率為k（k＞0），在x軸上是否存在點A（m，0），使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）滿足：
①在x=1時有極值；
②圖象過點（0，3），且在該點處的切線與直線2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x2）在[-2，2]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，設雙曲線C1：
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）的上焦點為F，上頂點為A，點B為雙曲線虛軸的左端點，已知Cl的離心率為
2
3
3
，且△ABF的面積S=1-
3
2
．
（Ⅰ）求雙曲線Cl的方程；
（Ⅱ）設拋物線C2的頂點在坐標原點，焦點為F，動直線l與C2相切于點P，與C2的準線相交于點Q試推斷以線段PQ為直徑的圓是否恒經過y軸上的某個定點M？若是，求出定點M的坐標；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

甲、乙兩名籃球運動員，投籃的命中率分別為0.7與0.8．
（1）如果每人投籃一次，求甲、乙兩人至少有一人進球的概率；
（2）如果每人投籃三次，求甲投進2球且乙投進1球的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為常實數(shù)）．
（1）若a=-2，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若當x∈[1，e]時，f（x）≤a+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-
1
x
．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）用定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值與最小值之和不小于
11a-2
2a
，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=
7x-3
x
在[
1
2
，3]上的最小值是
 
．

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