Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為常實數(shù)）．
（1）若a=-2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當x∈[1，e]時，f（x）≤a+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）將a=-2代入，然后求出導函數(shù)f'（x），利用導函數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x∈[1，e]時，f（x）≤a+2可化為a≥

x2-2x

x-lnx

，求出右邊的最大值，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）先求出導函數(shù)f'（x），然后討論a研究函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最小的一個就是最小值．

解答： 解：（1）當a=-2時，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=

2(x+1)(x-1)

x

．
當x∈（1，+∞），f′（x）＞0，x∈（0，1），f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（0，1）．
（2）當x∈[1，e]時，f（x）≤a+2可化為a≥

x2-2x

x-lnx

，
令g（x）=

x2-2x

x-lnx

，則g′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

∵x∈[1，e]，∴g′（x）≥0
∴g（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴g（x）的最大值為g（e）=

e2-2e

e-1

，
∴a≥

e2-2e

e-1

；
（3）f′（x）=

2x2+a

x

（x＞0），當x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非負（僅當a=-2，x=1時，f'（x）=0），
故函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，此時[f（x）]_min=f（1）=1．
若-2e²＜a＜-2，當x=

-a 2

時，f'（x）=0；當1≤x＜

-a 2

時，f'（x）＜0，
此時f（x）是減函數(shù)；當

-a 2

＜x≤e時，f'（x）＞0，此時f（x）是增函數(shù)．
故[f（x）]_min=f（

-a 2

）=

a

2

ln（-

a

2

）-

a

2

若a≤-2e²，f'（x）在[1，e]上非正（僅當a=-2e²，x=e時，f'（x）=0），
故函數(shù)f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，此時[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
綜上可知，當a≥-2時，f（x）的最小值為1，相應的x值為1；
當-2e²＜a＜-2時，f（x）的最小值為

a

2

ln（-

a

2

）-

a

2

，相應的x值為

-a 2

；
當a≤-2e²時，f（x）的最小值為a+e²，相應的x值為e．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．