Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為B．Q為拋物線y²=12x的焦點，且

F1B

•

QB

=0，2

F1F2

+

QF1

=0．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過定點P（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點（M在P，N之間），設(shè)直線l的斜率為k（k＞0），在x軸上是否存在點A（m，0），使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知Q（3，0），F(xiàn)₁B⊥QB，|QF₁|=4c=3+c，解得c=1． 在Rt△F₁BQ中，|BF₂|=2c=2，所以a=2，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+2（k＞0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），取MN的中點為E（x₀，y₀）．假設(shè)存在點A（m，0），使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，由

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

⇒(4k2+3)x2+16kx+4=0，
由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知Q（3，0），F(xiàn)₁B⊥QB，
|QF₁|=4c=3+c，所以c=1． …（1分）
在Rt△F₁BQ中，F(xiàn)₂為線段F₁Q的中點，
故|BF₂|=2c=2，所以a=2．…（2分）
于是橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+2（k＞0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），取MN的中點為E（x₀，y₀）．
假設(shè)存在點A（m，0），
使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，則AE⊥MN．

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

⇒(4k2+3)x2+16kx+4=0，
△＞0⇒k2＞

1

4

，又k＞0，所以k＞

1

2

．  …（6分）
因為x1+x2=-

16k

4k2+3

，
所以x0=-

8k

4k2+3

，y0=kx0+2=

6

4k2+3

． …（8分）
因為AE⊥MN，所以kAE=-

1

k

，即

6 4k2+3 -0

-8k 4k2+3 -m

=-

1

k

，
整理得m=-

2k

4k2+3

=-

2

4k+ 3 k

． …（10分）
因為k＞

1

2

時，4k+

3

k

≥4

3

，

1

4k+ 3 k

∈(0，

3

12

]，
所以m∈[-

3

6

，0)． …（12分）

點評：本題考查橢圓C的標準方程的求法，考查在x軸上是否存在點A（m，0），使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形的確定與實數(shù)m的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．