Question

如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足AM=2AP，NP⊥AM，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足FG=

1

2

FH，求直線l的方程；
（3）設(shè)曲線E的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線交曲線于Q，S兩點(diǎn)，過F₂的直線交曲線于R，T兩點(diǎn)，且QS⊥RT，垂足為W；
（�。┰O(shè)W（x₀，y₀），證明：

x 20

2

+

y

20

＜1；
（ⅱ）求四邊形QRST的面積的最小值．

Answer 1

（1）∵NP為AM的中垂線
∴NA=NM
∴NA+NC=CM=2

2

∴N的軌跡為A，C為焦點(diǎn)的橢圓2a=2

2

∴a=

2

，c=1
∴b=1
∴方程為

x2

2

+y2=1
（2）當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，即G為FH中點(diǎn)時(shí)，設(shè)G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）
∴

x2=2x1 y2=2(y1-1)

，代入橢圓得y2=

5× 1 2 -3

4× 1 2

=-

1

4

，
∴x22=

15

8

∴x2=±

30

4

∴y=±

3 30

10

x+2
（3）（i）∵由過F₁的直線交曲線于Q，S兩點(diǎn)，過F₂的直線交曲線于R，T兩點(diǎn)，且QS⊥RT
∴W在以F₁F₂為直徑的圓上，F(xiàn)₁F₂=2
∴x₀²+y₀²=1
∴

x02

2

+y02＜x02+y02=1
（ii）設(shè)QS的方程為y=k（x+1）（當(dāng)k存在且不為0時(shí)）
 代入

x2

2

+y2=1
∴（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
 設(shè)Q（x₃，y₃），S（x₄，y₄）
∴x3+x4=

-4k2

1+2k2

，x3x4=

2k2-2

1+2k2

，
∴|QS|=

1+k2

|x3-x4|=2

2

1+k2

1+2k2

，
∵QS⊥RT
∴KRT=-

1

k

，同理，|RT|=2

2

•

k2+1

k2+2

∴S=

1

2

RT•QS=4•

(1+k2)2

(1+2k2)(k22)

≥4•

(1+k2)

( 1+2k2+k2+2 2 )2

=

16

9

（當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)，取等號(hào)）
當(dāng)k不存在或k=0時(shí)，S=

2

∵

16

9

＞

2

∴Smin=

2