Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上．
（1）若折痕斜率為-1，求折痕所在的直線方程；
（2）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程；
（3）當(dāng)-2+

3

≤k≤0時(shí)，求折痕長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）折痕斜率為-1時(shí)，由于A點(diǎn)落在線段DC上，可得：折痕必經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，1），即可得出．
（2）當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程y=

1

2

．當(dāng)k≠0時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段DC上的點(diǎn)記為G（a，1），可知：A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，有k_OG•k=-1，解得a=-k．故G點(diǎn)坐標(biāo)為G（-k，1），
從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)即線段OG的中點(diǎn)為M(-

k

2

，

1

2

)，即可得出．
（3）當(dāng)k=0時(shí)，折痕長(zhǎng)為2．當(dāng)-2+

3

≤k＜0時(shí)，折痕所在直線交BC于(2，2k+

k2

2

+

1

2

)，交y軸于Q(0，

k2+1

2

)．利用兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）折痕斜率為-1時(shí)，∵A點(diǎn)落在線段DC上，∴折痕必經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，1），
∴折痕所在的直線方程為y=-x+1．
（2）①當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程y=

1

2

．
②當(dāng)k≠0時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段DC上的點(diǎn)記為G（a，1），
所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，
有k_OG•k=-1⇒

1

a

•k=-1，解得a=-k．
故G點(diǎn)坐標(biāo)為G（-k，1），
從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)
（線段OG的中點(diǎn)）為M(-

k

2

，

1

2

)，）
折痕所在的直線方程y-

1

2

=k(x+

k

2

)，即y=kx+

k2

2

+

1

2

．
由①②得折痕所在的直線方程為：y=kx+

k2

2

+

1

2

．
（3）當(dāng)k=0時(shí)，折痕長(zhǎng)為2．
當(dāng)-2+

3

≤k＜0時(shí)，折痕所在直線交BC于(2，2k+

k2

2

+

1

2

)，交y軸于Q(0，

k2+1

2

)．
∴|PQ|²=2²+(2k+

k2

2

+

1

2

-

k2+1

2

)2=4+4k²≤4+4(-2+

3

)2=32-16

3

．
∴|PQ|≤

32-16 3

=2

8-2 12

=2（

6

-

2

）＞2．
∴折痕長(zhǎng)的最大值為2(

6

-

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了關(guān)于折疊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問(wèn)題，考查了直線的方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．