Question

【題目】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x-1），其中f（x）=x2-4x+2．

（1）求通項公式an；

（2）若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，令bn=an+1+an+2+an+3+an+4，求數(shù)列{}的前n項和Sn．

Answer 1

【答案】（1）當x=1時，an =2n-4，當x=3時， an=4-2n；；（2）

【解析】

（1）題目給出了一個等差數(shù)列的前3項，根據(jù)等差中項概念列式a1+a3=2a2，然后把a1和a3代入得到關于x的方程，解方程，求出x后再分別代回a1=f（x+1）求a1，則d也可求，所以通項公式可求．

（2）利用數(shù)列是遞增數(shù)列求出通項公式，化簡數(shù)列的通項公式，通過裂項消項法求解數(shù)列的和即可．

解：（1）數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a1+a3=2a2，

即f（x+1）+f（x-1）=0，又f（x）=x2-4x+2，

所以（x+1）2-4（x+1）+2+（x-1）2-4（x-1）+2=0，整理得x2-4x+3=0，解得x=1或x=3．

當x=1時，a1=f（x+1）=f（2）=22-4×2+2=-2，d=a2-a1=0-（-2）=2，

∴an=a1+（n-1）d=-2+2（n-1）=2n-4．

當x=3時，a1=f（x+1）=f（4）=42-4×4+2=2，d=0-2=-2．所以an=4-2n．

綜上：當x=1時，an =2n-4；當x=3時， an=4-2n．

（2）數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，d＞0，

所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-4．

bn=an+1+an+2+an+3+an+4=8n+4，

==，

數(shù)列{}的前n項和Sn==．