Question

（2009•普陀區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，an+1=

1

2-an

，n∈N^*．
（1）求證：{

1

an-1

}是等差數(shù)列；并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=an•(

9

10

)n，n∈N^*，試證明：對于任意的正整數(shù)m、n，都有|bn-bm|＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）因為

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，所以

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1，n∈N^*；由此能夠證明{

1

an-1

}是等差數(shù)列．求能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由bn=

n-1

n

×(

9

10

)n，得bn+1-bn=

n

n+1

•(

9

10

)n+1-

n-1

n

•(

9

10

)n=(

9

10

)n[

9n

10(n+1)

-

n-1

n

]=(

9

10

)n•

-n2+10

10n(n+1)

．由此能夠證明對于任意的正整數(shù)m、n，都有|bn-bm|＜

1

2

．

解答：解：（1）因為

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
所以

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1，n∈N^*；
故{

1

an-1

}是等差數(shù)列．
由此可得，

1

an-1

=

1

a1-1

+(n-1)×(-1)=-n，
所以an=1-

1

n

=

n-1

n

，n∈N^*．
（2）由bn=

n-1

n

×(

9

10

)n，
則有bn+1-bn=

n

n+1

•(

9

10

)n+1-

n-1

n

•(

9

10

)n
=(

9

10

)n[

9n

10(n+1)

-

n-1

n

]=(

9

10

)n•

-n2+10

10n(n+1)

．
∴當(dāng)-n2+10＞0⇒n2＜

10

，
即n≤3時，b_n+1＞b_n；
∴當(dāng)-n2+10＜0⇒n2＞

10

，
即n≥4時，b_n+1＜b_n．
由此可知，b₄是數(shù)列{b_n}中的最大項；
又因為b₁=0，
且當(dāng)n≥2時，b_n＞0，
所以數(shù)列{b_n}中的最小項為b₁=0．
∴對于任意的正整數(shù)m、n，都有|bn-bm|≤|b4-b1|=|

3

4

•(

9

10

)4-0|=

19683

40000

＜

1

2

．

點評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．