【題目】設(shè)是一個給定的非零實數(shù),在平面直角坐標系中,曲線的方程為且,點.

(1)設(shè)是上的任意一點,試求線段的中點的軌跡的方程并指出曲線的類型和位置;

(2)求出、在它們的交點處的各自切線之間的夾角(銳角)(用反三角函數(shù)式表示)

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）

（且）

（由，得）

（且）.

故曲線是在一條等軸雙曲線上挖去點（0，0）和所得的曲線.

設(shè)的中點為，則.

從而，.

代入方程得

（且）.

因此，的軌跡的方程為

（且）.

它的中心點為，漸近線為及，即是在一條等軸雙曲線上挖去點和所得的曲線.

（2）聯(lián)立方程組

②÷①得.

解得，代入式②得.

故與的交點為.

對的兩邊求關(guān)于的導數(shù)得，即

.

再對的兩邊求關(guān)于的導數(shù)得，即

.

與在焦點處的各自的切線的夾角（銳角）的正切值為.

故.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線上任意一點到直線的距離是它到點距離的2倍；曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線．

（1）求的方程；

（2）設(shè)過點的直線與曲線相交于兩點，分別以為切點引曲線的兩條切線，設(shè)相交于點，連接的直線交曲線于兩點，求的最小值．

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【題目】如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色、相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域不同涂色的方法種數(shù)為（ ）

A.360B.400C.420D.480

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【題目】已知橢圓 的離心率為，過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點M為橢圓上第一象限內(nèi)一動點，A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線MB與x軸交于點C，直線MA與y軸交于點D，求證：四邊形ABCD的面積為定值．

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【題目】已知拋物線的頂點在原點,過點A(-4,4)且焦點在x軸.

（1）求拋物線方程;

（2）直線l過定點B(-1,0)與該拋物線相交所得弦長為8,求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】試問:能否把2008表示成的形式?如果可以,這種表示方式是否有無限多個?其中,m、n均為大于100且小于170的正整數(shù),且;均為兩兩不相等的小于6的正有理數(shù),且均為大于1且小于5的正整數(shù),同時, 兩兩不相等,也兩兩不相等請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x，g(x)＝2x+a，若x1∈[，1]，x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)

A.a≤1B.a≥1C.a≤2D.a≥2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】推進垃圾分類處理，是落實綠色發(fā)展理念的必然選擇，也是打贏污染防治攻堅戰(zhàn)的重要環(huán)節(jié).為了解居民對垃圾分類的了解程度，某社區(qū)居委會隨機抽取1000名社區(qū)居民參與問卷測試，并將問卷得分繪制頻率分布表如表：

得分

男性

人數(shù)

40

90

120

130

110

60

30

女性

人數(shù)

20

50

80

110

100

40

20

（1）從該社區(qū)隨機抽取一名居民參與問卷測試，試估計其得分不低于60分的概率；

（2）將居民對垃圾分類的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）兩類，完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“居民對垃圾分類的了解程度”與“性別”有關(guān)？

不太了解

比較了解

合計

男性

女性

合計

（3）從參與問卷測試且得分不低于80分的居民中，按照性別進行分層抽樣，共抽取10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人作為環(huán)保宣傳隊長，設(shè)3人中男性隊長的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望.

附：，（n=a+b+c+d）.

臨界值表：

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【題目】設(shè)是一個各位數(shù)字都不是0且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，將組成的3個數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為，按從大到小排成的三位數(shù)記為，（例如，則，）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，任意輸入一個，輸出的結(jié)果=（ ）

A. 693 B. 594 C. 495 D. 792

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