Question

（理普）函數(shù)f（x）=a（x²-1）-lnx（a∈R）．
（1）若y=f（x）在x=2處取得極小值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分類討論，求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?span id="c6bxul1" class="MathJye">(0，+∞)，f′(x)=2ax-

1

x

．
因?yàn)閒（x）在x=2處取得極小值，所以f'（2）=0，即a=

1

8

．
此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)x=2是f（x）的極小值點(diǎn)，故a=

1

8

．
（2）因?yàn)?span id="6rwtz3z" class="MathJye">f′(x)=2ax-

1

x

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，所以f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜f（1）=0矛盾．
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)=

2ax2-1

x

，令f'（x）＞0，得x＞

1

2a

；f'（x）＜0，得0＜x＜

1

2a

；
（�。┊�(dāng)

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

時(shí)，x∈(1，

1

2a

)時(shí)，f'（x）＜0，即f（x）遞減，所以f（x）＜f（1）=0矛盾．
（ⅱ）當(dāng)

1

2a

≤1，即a≥

1

2

時(shí)，x∈[1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，即f（x）遞增，所以f（x）≥f（1）=0滿足題意．
綜上，a≥

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0，考查恒成立問(wèn)題的解決方法，屬于中檔題．