在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且
a2
b2
=tanAcotB．
（1）證明：sin2A=sin2B；
（2）若a=3，b=4，求|
CA
+
CB
|的值；
（3）若C=60°，△ABC的面積為
3
，求
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
的值．
分析：（1）利用正弦定理把題設(shè)中的等式的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，化簡(jiǎn)整理，利用二倍角公式求得sin2A=sin2B，原式得證．
（2）由（1）中的結(jié)論可推斷出A+B=
π
2
，進(jìn)而利用勾股定理求得c，進(jìn)而利用向量的運(yùn)算法則求得|
CA
+
CB
|的值．
（3）由（1）中的結(jié)論可推斷出A=B或A+B=
π
2
，進(jìn)而根據(jù)C=
π
3
推斷出△ABC為等邊三角形，進(jìn)而利用三角形面積公式求得a的值，進(jìn)而根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求得答案．
解答：解：（1）證明：由
a2
b2
=tanAcotB
得sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
（2）解：由上題知sin2A=sin2B及a≠b
得2A+2B=π
∴A+B=
π
2
，c=
a2+b2
=5
∴|
CA
+
CB
|2=|
CA
|2+|
CB
|2+2
CA•
CB
=9+16
∴|
CA
+
CB
|=5
（3）由（1）知A=B或A+B=
π
2
又∵C=
π
3

∴A=B=C=
π
3
即△ABC為等邊三角形
又
3
4
a2=
3
∴a2=4，a=2
∴
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
=3×2×2cos
2
3
π=-6
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，平面向量的基本運(yùn)算．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c．滿足2acosC+ccosA=b．則sinA+sinB的最大值是（　　）
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面積為10
3
cm2，周長(zhǎng)為20cm，求此三角形的各邊長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面積S=
3
3
2
，求邊c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，若cotA•cotB＞1，則△ABC是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知y=f（x）函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)如下三步變換得到的：
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個(gè)單位；
②將①中的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的
1
2
；
③將②中的圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍．
（1）求f（x）的周期和對(duì)稱軸；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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