Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作于點(diǎn)，的平分線交軸于點(diǎn)，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作兩條直線，分別交曲線于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．當(dāng)直線的斜率之和為2時(shí)，直線是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）過(guò)定點(diǎn)，

【解析】

（1）設(shè)，由題得，即得，即得解；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，根據(jù)得到，即得直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線也經(jīng)過(guò)定點(diǎn).即得解.

解：（1）設(shè)，由已知，，

，，，

，即，

化簡(jiǎn)得，曲線的方程為．

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

且設(shè)，．

由得，

由已知，，，

由已知，得，

整理得，

，整理得．

，，

直線的方程為，

直線過(guò)定點(diǎn)．

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為，且設(shè)，，

其中．

由已知，得，

，

直線的方程為，此時(shí)直線也過(guò)定點(diǎn)．

綜上所述，直線恒過(guò)定點(diǎn)．