Question

設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，點(diǎn)P（a_n，S_n）在直線y=2x-2上
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=2（1-

1

an

），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若T_n≥a²-2恒成立，求a的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程得到數(shù)列遞推式，進(jìn)一步證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把（1）中求得的通項(xiàng)公式代入b_n=2（1-

1

an

），由分組求和及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，代入T_n≥a²-2后分離變量a，得到a2≤2[n+(

1

2

)n]，由函數(shù)單調(diào)性求出2[n+(

1

2

)n]有最小值3，則a的最大值可求．

解答： 解：（1）依題意得S_n=2a_n-2，則n≥2時(shí)，
S_n-1=2a_n-1-2．
∴n≥2時(shí)，
S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1．
又n=1時(shí)，a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2•2n-1=2ⁿ；
（2）∵b_n=2（1-

1

an

）=2(1-

1

2n

)=2-

1

2n-1

，
∴Tn=2n-(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2（1-

1

2n

）=2n-2+2×(

1

2

)n．
由T_n≥a²-2恒成立，得2n-2+2×(

1

2

)n≥a²-2．
即a2≤2[n+(

1

2

)n]．
令g（n）=n+(

1

2

)n，
∵g′(n)=1-(

1

2

)nln2＞0，
∴g（n）=n+(

1

2

)n為增函數(shù)，
∴當(dāng)n=1時(shí)，2[n+(

1

2

)n]有最小值3．
故a²≤3，解得-

3

≤a≤

3

．
∴a的最大值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比關(guān)系的確定，考查了數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，訓(xùn)練了分離變量法求解恒成立問題，屬中檔題．