Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x•|x-a|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；
（2）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值；
（3）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：帶絕對(duì)值的函數(shù),二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將a=2代入函數(shù)的解析得出f（x）=x|x-2|，將其變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)研究其單調(diào)性即可；
（2）a=2，函數(shù)在[0，1]，[2，3]上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上解析式是確定的，去掉絕對(duì)號(hào)后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定其單調(diào)性，再求最值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x|x-2|=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1]，[2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（1，2）；
（2）a=2，函數(shù)在[0，1]，[2，3]上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，
∵f（1）=1，f（3）=1，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為1；
（3）∵a＞2，x∈[1，2]時(shí)，所以f（x）=x（a-x）=-x²+ax=-(x-

a

2

)2+

a2

4

當(dāng)1＜

a

2

≤

3

2

，即2＜a≤3時(shí)，f（x）_min=f（2）=2a-4
當(dāng)

a

2

＞

3

2

，即a＞3時(shí)，f（x）_min=f（1）=a-1
∴f（x）_min=

2a-4，2＜a≤3 a-1，a＞3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，綜合考查了二次函數(shù)的圖象，最值等知識(shí)以及配方法求最值的技巧．解題時(shí)數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化靈活，綜合性很強(qiáng)．