Question

【題目】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：
（1）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）的值；
（2）若a=2，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc，

結(jié)合余弦定理知cosA= = = ，

又A∈（0，π），∴A= ，

∴2sinBcosC﹣sin（B﹣C）=sinBcosC+cosBsinC

=sin（B+C）=sin[π﹣A]=sinA=

（2）解：由a=2，結(jié)合正弦定理得：

= = ，

∴b= sinB，c= sinC，

則a+b+c=2+ sinB+ sinC

=2+ sinB+ sin（ ﹣B）

=2+2 sinB+2cosB=2+4sin（B+ ），

可知周長(zhǎng)的最大值為6

【解析】（1）根據(jù)余弦定理表示出cosA，把已知得等式變形后代入即可求出cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，然后把所求的式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，將sinA的值代入即可求出值；（2）由a=2和sinA的值，根據(jù)正弦定理表示出b和c，代入三角形的周長(zhǎng)a+b+c中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到周長(zhǎng)的最大值．