Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

2

x³-ax+1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）方程f（x）=0有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（II）方程f（x）=0有三個(gè)不同的解，等價(jià)于f（-

2a 3

）＞0，且f（

2a 3

）＜0，即可求實(shí)數(shù)a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

3

2

x2-a=0，可得
①a＞0時(shí)，x=±

2a 3

，
由f′（x）＞0，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

2a 3

]，[

2a 3

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為[-

2a 3

，

2a 3

]；
②a≤0，f′（x）≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增；
（II）方程f（x）=0有三個(gè)不同的解，等價(jià)于f（-

2a 3

）＞0，且f（

2a 3

）＜0，
∴

1

2

（-

2a 3

）³-a（-

2a 3

）+1＞0，且

1

2

（

2a 3

）³-a•

2a 3

）+1＜0
解得a＞

3

2

．

點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．