Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別為AB、C₁D₁、DC中點，AB=2，AD=

3

，AC₁=3
（1）求證：C₁E∥平面AFC．
（2）求二面角F-AC-G的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出四邊形AEC₁F是平行四邊形，由此能證明C₁E∥平面AFC．
（2）由已知得FG⊥平面ABCD，過F做FH⊥AC于H，又AC⊥FG，由已知得∠FHG就是二面角F-AC-G的平面角，由此能求出二面角F-AC-G的正切值．

解答： （本小題滿分14分）
（1）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵E、F分別為AB、C₁D₁中點，
∴AE∥C₁F且AE=C₁F，
∴四邊形AEC₁F是平行四邊形，
∴C₁E∥AF，…（3分）
∵AF?平面AFC，C₁E?平面AFC，
∴C₁E∥平面AFC．…（5分）
（2）解：∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
F、G分別為C₁D₁、DC中點，AB=2 ，AD=

3

 ，AC1=3，
∴FG⊥平面ABCD，…（7分）
過F做FH⊥AC于H，又AC⊥FG，
∴AC⊥平面FGH，∴GH⊥AC，
∴∠FHG就是二面角F-AC-G的平面角，…（9分）
∵FG=

2

，在△ACG中，GH•AC=AD•CG，
∴GH=

AD•CG

AC

=

3

7

，…（11分）
∴直角三角形FGH中，
tan∠FHG=

FG

GH

=

2

3 7

=

42

3

…（13分）
∴二面角F-AC-G的正切值為

42

3

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．