Question

已知四棱錐P-ABCD的直觀圖和三視圖如圖所示，E是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若F是BC上任一點(diǎn)，求證：AE⊥PF；
（Ⅱ）設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，求直線BO與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意首先應(yīng)有三視圖的到還原后的立體圖形應(yīng)為一側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，由題意及圖得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，既可以得到證明；
（2）利用空間向量，由題意先建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角與該直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系即可得求．
解答：（Ⅰ）證明：由該四棱錐的三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2和1的矩形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，且PA=2．
∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中點(diǎn)，
∴AE⊥PB．
∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，，0）．
∴．
設(shè)，是平面EAC的一個(gè)法向量，則由得即
取x=1得．
而，∴．
設(shè)直線BO與平面AEC所成角為α，則sinα=．
∴直線BO與平面AEC所成角的正弦值為．

點(diǎn)評：（1）此問重點(diǎn)考查了有三視圖還原出立體圖形，還考查了利用線面垂直證明線線垂直這樣的轉(zhuǎn)換證明的方法；
（2）此問重點(diǎn)考查了利用空間向量的方法求解線面角的知識．