已知橢圓過點(diǎn)，且離心率．

（I）求橢圓C的方程；

（II）已知過點(diǎn)的直線與該橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，試問：在直線上是否存在點(diǎn)P，使得是正三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．


解：（Ⅰ）由題意得    ……2分  解得…………………4分

所以橢圓的方程為． …………………………………… 5分

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)；  …………………6分

當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為,

代入，整理得,

設(shè)，，則，,

設(shè)存在符合題意的點(diǎn)，

則

, …………………………………8分

設(shè)線段的中點(diǎn)，則，

所以,

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/05/09/17/2015050917000676689759.files/image104.gif'>是正三角形，所以，且,   ……………9分                      

由得即，所以,

所以,

……………10分

由得，

解得，所以．……………………………………………………12分

由得,

所以,

所以存在符合題意的點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知曲線，直線（為參數(shù)）

（I）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；

（II）過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為30°的直線，交于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


等比數(shù)列的公比0＜q＜1，,則使 ＞

成立的正整數(shù)n的最大值為        .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


三棱錐及其三視圖中的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示，則棱SB的長(zhǎng)為（    ）

A．                  B． C．                  D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

（I）求函數(shù)的解析式，并寫出 的單調(diào)減區(qū)間；

（II）已知的內(nèi)角分別是A，B， C，角A為銳角，且的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，則的值為                                                                                 （    ）

A．4                                         B．5                      C．6                              D．7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸為,則以為方向向量的直線的傾斜角為               ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為cm，高為2 cm，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線．若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)度是________cm.(結(jié)果保留根式)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


   四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,  ,, 為上兩點(diǎn),且  .

  (1)求證面；

  (2)求異面直線PC與AE所成角的余弦值；

  (3)求二面角的余弦值。



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