Question

函數(shù)f( x )=2x-

a

x

的定義域?yàn)椋?，1]（a為實(shí)數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（I）將a的值代入函數(shù)解析式，利用基本不等式求出函數(shù)的值域．
（II）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在定義域上恒成立，分離出a，構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)的最小值，求出a的范圍．
（III）通過對(duì)a的討論，判斷出函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）顯然函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)?span id="99x9bv9" class="MathJye">[ 2

2

， +∞ )；
（Ⅱ）∵f/(x)=2+

a

x2

＜0?a＜-2x2在定義域上恒成立
而-2x²∈（-2，0）
∴a≤-2
（II）當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0.1]上單調(diào)增，無最小值，
當(dāng)x=1時(shí)取得最大值2-a；
由（2）得當(dāng)a≤-2時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0.1]上單調(diào)減，無最大值，
當(dāng)x=1時(shí)取得最小值2-a；
當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在( 0. 

-2a

2

 ]上單調(diào)減，在[

-2a

2

，1]上單調(diào)增，無最大值，
當(dāng)x=

-2a

2

時(shí)取得最小值2

-2a

．

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的單調(diào)性常借助導(dǎo)數(shù)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0對(duì)應(yīng)的區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0對(duì)應(yīng)的區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．求含參數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)問題時(shí)，一般要對(duì)參數(shù)討論．