Question

已知橢圓C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)，點(diǎn)P(b，

a

2

)在橢圓上，其左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若

PF1

•

PF2

=

1

2

，過點(diǎn)S(0，-

1

3

)的動直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，請問在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)，點(diǎn)P(b，

a

2

)在橢圓上，建立方程，確定幾何量的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率；
（Ⅱ）先求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由特殊情況猜想M（0，1），進(jìn)而證明一般性的結(jié)論成立．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)，點(diǎn)P(b，

a

2

)在橢圓上，
∴

b2

a2

+

a2

4b2

=1，∴a²=2b²，∴c²=a²-b²=b²，
∴e=

c

a

=

2

2

；
（Ⅱ）∵

PF1

•

PF2

=

1

2

∴（-c-b，-

a

2

）•（c-b，-

a

2

）=

1

2

∴b2-c2+

a2

4

=

1

2

∴a=

2

，b=1
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
假設(shè)存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)．
當(dāng)AB⊥x軸時，以AB為直徑的圓的方程為：x²+y²=1①
當(dāng)AB⊥y軸時，以AB為直徑的圓的方程為：x²+（y+

1

3

）²=

16

9

②
由①，②知定點(diǎn)M（0，1）
下證：以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)M（0，1）．
設(shè)直線l：y=kx-

1

3

，代入橢圓方程，消去y可得（2k²+1）x²-

4

3

kx-

16

9

=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4k

3(2k2+1)

，x₁x₂=

-16

9(2k2+1)

∵

MA

=(x1，y1-1)，

MB

=(x2，y2-1)
∴

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂-

4

3

k（x₁+x₂）+

16

9

=0
∴在x軸上存在定點(diǎn)M（0，1），使以AB為直徑的圓恒過這個定點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查存在性問題，由特殊到一般是解題的關(guān)鍵．