Question

動點P到兩點（

3

，0），（-

3

，0）的距離和為4；動點Q在動圓C₁：x²+y²=r²（1＜r＜4）上．
（1）求動點P的軌跡C₂的方程；
（2）若直線PQ與C₁和C₂均只有一個交點，求線段PQ長度的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得動點P的軌跡C₂的方程以（

3

，0），（-

3

，0）為焦點的橢圓，由此能求出點P的軌跡C₂的方程．
（2）若直線PQ的斜率不存在，則|PQ|=0，若直線PQ的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m，由直線PQ與C₂相切，切點為P，由

y=kx+m x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，又PQ與圓C₁相切，得

|m|

k2+1

=r，由此求出k2=

r2-1

4-r2

，PQ²=OP²-r²=x12+y12-r2≤1，由此能求出|PQ|的最大值為1．

解答： 解：（1）∵動點P到兩點（

3

，0），（-

3

，0）的距離和為4，4＞2

3

，
∴動點P的軌跡C₂的方程以（

3

，0），（-

3

，0）為焦點的橢圓，
且2a=4，2c=2

3

，
解得a=2，c=

3

，b=

4-3

=1，
∴點P的軌跡C₂的方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）若直線PQ的斜率不存在，則|PQ|=0，
若直線PQ的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m，
P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由直線PQ與C₂相切，切點為P，
由

y=kx+m x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
∴m²=4k²+1，x1=-

4k

m

，①
又PQ與圓C₁相切，得

|m|

k2+1

=r，即m²=r²（k²+1），②
由①②，得：k2=

r2-1

4-r2

，
且PQ²=OP²-r²=x12+y12-r2
=x12+1-

x12

4

-r2
=1+

3x12

4

-r2
=1+

12k2

4k2+1

-r2
=5-(r2+

4

r2

)≤5-4=1，
當(dāng)且僅當(dāng)r²=2，即r=

2

∈（1，4）時取得等號，
于是|PQ|的最大值為1．

點評：本題考查動點的軌跡方程的求法，考查線段長度最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．