Question

已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，且短軸長為4，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設橢圓C的焦點在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點，且，求直線l的方程．

Answer 1

考點：

直線與圓錐曲線的關系；橢圓的簡單性質．

專題：

圓錐曲線的定義、性質與方程．

分析：

（Ⅰ）設出橢圓長、短半軸長，根據(jù)已知條件列方程組，解出即可，注意焦點位置不確定；

（Ⅱ）設直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消y得關于x的一元二次方程，用韋達定理及弦長公式可得關于m的方程，解出即可；

解答：

解：（Ⅰ）設橢圓C的長半軸長為a（a＞0），短半軸長為b（b＞0），

則2b=4①，②．                                             

聯(lián)立①②，解得a=4，b=2．                                                     

因為橢圓C的對稱軸為坐標軸，

所以橢圓C的方程為標準方程為．       

（Ⅱ）設直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由方程組，消去y，

得5x²+2mx+m²﹣16=0，

由題意，得△=（2m）²﹣20（m²﹣16）＞0，

且，

因為=，

所以，解得m=±2，

驗證知△＞0成立，

所以直線l的方程為x﹣y+2=0或x﹣y﹣2=0．

點評：

本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓標準方程的求解，考查解析幾何中常見公式如：弦長公式、韋達定理的應用，考查學生分析解決問題的能力．