Question

某公司經(jīng)銷某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為6元，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元（9≤x≤11）時，一年的銷售量為（12-x）²萬件．
（1）求公司一年的利潤y（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少時，公司的一年的利潤y最大，求出y最大值．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）年利潤=（單價-成本）×年銷售量；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的符號可判斷函數(shù)在[9，11]上的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得最大值．

解答： 解：（1）由題意，得y=（x-6）×（12-x）²=（x³-30x²+288x-144×6）（9≤x≤11 ），
∴公司一年的利潤y（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系為：
y=（x³-30x²+288x-144×6）（9≤x≤11 ）；
（2）y'=（3x²-60x+288），
令y'=0，即x²-20x+96=0，（x-12）（x-8）=0，解得x=8，x=12，
當(dāng)x∈（-∞，+8），x∈（12，+∞） 時y為增函數(shù)，當(dāng)x∈（8，12）時y為減函數(shù)，
又x∈[9，11]，
∴當(dāng)x∈[9，11]時y為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=9 時，ymax=3×32=27 （萬元），
答：當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為9元時，一年的利潤最大為27萬元．

點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)實際問題正確構(gòu)建函數(shù)模型是解決該題的關(guān)鍵．