已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+ax2+bx(a,b∈R).
(Ⅰ)若曲線C:y=f(x)經(jīng)過點P(1,2),曲線C在點P處的切線與直線x+2y-1=0垂直,求a,b的值;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在兩個不同的極值點,求證:0<a+b<2.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到函數(shù)在點P(1,2)處的導(dǎo)數(shù),由曲線C在點P處的切線與直線x+2y-1=0垂直可得f′(1)=2,再結(jié)合f(1)=2聯(lián)立方程組求解a,b的值;
(Ⅱ)由f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在兩個不同的極值點可得f′(x)=x2+2ax+b=0在(1,2)內(nèi)有兩個不等的實根.利用三個二次結(jié)合求得a+b的范圍.
解答: 解:(Ⅰ)由f(x)=
1
3
x3+ax2+bx,得:
f′(x)=x2+2ax+b,
∵直線x+2y-1=0的斜率為-
1
2
,
∴曲線C在點P處的切線的斜率為2.
∴f′(1)=1+2a+b=2  ①
∵曲線C:y=f(x)經(jīng)過點P(1,2),
f(1)=
1
3
+a+b=2
  ②
聯(lián)立①②得a=-
2
3
,b=
7
3
;
(Ⅱ)∵f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在兩個不同的極值點,
∴f′(x)=x2+2ax+b=0在(1,2)內(nèi)有兩個不等的實根.
△=4(a2-b)>0
f(1)=1+2a+b>0
f(2)=4+4a+b>0
1<-a<2
,
解上述不等式組得:a+b>0且-2<a<-1.
∴a+b<a2+a=(a+
1
2
)2-
1
4
<2

∴a+b<2.
故0<a+b<2.
點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,訓(xùn)練了利用“三個二次”的結(jié)合分析二次方程根的問題,是中檔題.
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已知sinα=
4
3
7
,cos(β-α)=
13
14
,且0<β<α<
π
2

(1)求tan2α的值;
(2)求β的值.

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已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn,a1=
2
3
,且S2+
1
2
a2=1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)記bn=log 
1
3
a
2
n
4
,求數(shù)列{
bn
an
}的前n項和Tn

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已知函數(shù)f(x)=
2x2+a
x
,且f(1)=3.
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2
2
,+∞)
上單調(diào)遞增;
(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=x+b的兩根為x1,x2,是否存在實數(shù)t,使得不等式2m2-t•m+4≥|x1-x2|對?b∈[2,
13
]
?m∈[
1
2
,2]
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a
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a
b
,則
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sin2α-cos2α
=
 

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