Question

過拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|=2．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若直線l的斜率為2，問拋物線C上是否存在一點(diǎn)M，使得MA⊥MB？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義，結(jié)合|AF|=2，即可求得拋物線的方程；
（Ⅱ）假設(shè)拋物線C上存在一點(diǎn)M，使得MA⊥MB，將直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及MA⊥MB，建立方程，即可求出M的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，|AF|=2，
∴由拋物線的定義得，1+

p

2

=2，p=2，
∴拋物線C的方程為：x²=4y；
（Ⅱ）∵F（0，1），直線l的斜率為2，
∴設(shè)直線l的方程是：y=2x+1，與拋物線方程聯(lián)立，消去y，得，x²-8x-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=8，x₁x₂=-4．
假設(shè)拋物線C上存在一點(diǎn)M，使得MA⊥MB．
設(shè)M（m，n），則MA⊥MB，即

MA

•

MB

=0，
∴（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）=0，
∵x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，m²=4n，
∴（y₁-n）（y₂-n）=

1

16

（x₁-m）（x₂-m）（x₁+m）（x₂+m），
由于M與A，B不重合，∴16+（x₁+m）（x₂+m）=0，即16+m²+m（x₁+x₂）+x₁x₂=0，
化簡得，16-4+8m+m²=0，解得m=-2，或-6．
故拋物線C上存在一點(diǎn)M（-2，1）或（-6，9），使得MA⊥MB．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．